4.极限升华为一种理性的数学思想

　　随着极限应用范围的不断扩大和应用层次的不断加深，人们对极限的价值有了进一步的认识，逐渐形成了运用极限的思想来观察问题、分析问题和解决问题的态度，并在此基础上产生了“以直代曲”思想、“逼近”思想等重要数学思想。这表明极限已经逐渐发展成为一种重要的数学思想方法。

　　三、从人类认识数学的过程看，数学思想的理解是数学理解的最高层次

　　从人类对数学的理解过程来看，数学思想方法通常起源于人们的认识活动。洛克认为，理解过程从事物刺激感官所得到的简单观念开始（这时理解大部分是被动的），然后运用心中的主动性对简单观念进行合成、联想和抽象而得到复杂观念，大大增加人的理解力（这时候是知觉能力），理解便运用各种观念作为材料，依照这些观念的契合或相违（以此为范围），通过感觉的、直觉的和推论的途径，达到对个别事物、一般原则和上帝等对象的知识。[10]康德认为，一切人的认识都从感觉开始，再从感觉上升到概念，最后形成思想[11]。

　　通俗地说，数学思想方法的理解需要经历从具有不确定性的数学活动经验中抽取出具有确定性的数学知识，产生解决数学问题的方法，然后再运用这些知识和方法来解决现实世界中的问题、解释现实世界中的现象，并在这种解释世界、解决问题的数学活动过程中形成解决数学问题的观念和态度——数学思想方法这几个阶段。

　　比如，在学习二分法时，一些有经验的老师就先采用“幸运52”游戏来让学生体验二分的过程，当学生积累了一定的感性认识以后老师再出示具体方程让学生猜测方程根的分布情况。如让学生模仿“幸运52”游戏来猜方程“x5+5x-3=0”的根，先构造函数f（x）=x5+5x-3并任取两个函数值异号的点如x=-1，x=1，由此断定在区间（1，1）内一定有根，接着看其二等份点x=0处的函数值，发现f（0）<0，从而断定在区间（0，1）内有根，然后再看0与1的二等份点值x=■，发现f（■）<0，这样又可以将判定范围缩小到区间（■，1），这样的程序可以不断进行下去直到找到方程的根或近似根为止。到了这个时候，老师可以“象这样一种方法我们给它取个名字叫二分法”来点出二分法的本质。在老师的启发与点拨下，学生头脑中对二分法的认识从模糊、直观逐渐变得清晰、明确，能够逐渐理解和掌握二分法的含义及其操作程序。

　　学生在对二分法本质获得更加清晰的理解以后要做的事情就是要能够灵活运用这一方法解决各类问题，如用二分法求方程的近似解，求曲线的近似交点等。

　　而对二分法认识的最高阶段则是形成运用二分法思想观察问题、分析问题和解决问题的态度和数学观。如果学生能够将二分法进一步上升为逼近这一重要数学思想，并能运用逼近思想去观察问题、分析问题和解决问题，那么对二分法的理解就达到数学思想方法理解这一至“善”层次[12]。

　　四、从专家与新手的解题对比看，专家往往更擅长数学思想方法的理解

　　数学思想层次的理解是高水平数学理解的体现。德格鲁特（deGroot）在对专家与新手解决问题的过程比较后发现：专家知识是围绕核心概念或“大观点”（bigideas）来组织的，专家解决问题常常涉及到核心概念或“大观点”的思维方式。相反，新手的知识则极少按“大观点”来组织，他们更多的是通过自己的日常直觉寻找正确的公式和贴切的答案。[13]脑科学的最新研究也充分揭示了这一点，一个领域的专家和新手的区别表现为专家倾向于（由于有大量的经验）用更大的组块来组织信息，而新手则以孤立的小块信息来处理。[14]而是否能够很好地进行组块的关键在于解题者能否找到组块的线索和方法——数学思想方法。这就难怪雅克·阿达玛会认为，如果一个人习惯于在较深的层次上进行思想组合，那么他就偏重于直觉型；相反，如果某人习惯于在较浅的层次上工作，他就偏重于逻辑型。[15]比如在解“由△ABC两边AB、AC分别向外作正三角形ABD、ACE，求证：△ABD≌△ACE”这一问题时，新手往往只能看到这两个三角形全等这一点，而专家则往往还能看到可以通过旋转变换将其中一个三角形变换到与另一个三角形重合这一面。前者仅仅着眼于三角形全等判断定理的具体运用，而后者则能立足于变换这一重要数学思想来处理数学问题。

　　可见，新手或初学者往往比较关注细节，而专家或复习旧知时则更关注思路或方法等宏观方面。专家之所以比新手高明就在于专家往往能够借助于数学思想方法或站在数学思想方法的高度来认识所研究的问题。这就难怪日本数学教育家米山国藏为什么那么看重数学思想方法，为什么始终把数学思想方法的理解作为数学素质的核心，并提出了“不管学生毕业以后从事何种工作，唯有深深铭刻于头脑中的数学精神、数学的思维方法、研究方法、推理方法和着眼点等（若培养了这方面的素质的话），却随时随地发生作用，使他们终身受益。”这一至理名言。

　　综合以上分析，我们完全可以得出这样的结论，那就是，数学思想方法的理解是数学理解的最高层次，是数学理解的至“善”追求。

　　参考文献

　　[1]张学广.维特根斯坦与理解问题.陕西：陕西人民出版社，2003.

　　[2]邓东皋等.数学与文化.北京：北京大学出版社，1999.

　　[3]喻平.知识分类与数学教学.数学通报，2000（12）.

　　[4][美]D.A.格劳斯：数学教与学研究手册.陈昌平等译.上海教育出版社，1999.

　　[5]李士锜.数学教育心理.上海：华东师范大学出版社，2001.

　　[6]曹才翰，蔡金法.数学教育学概论.南京：江苏教育出版社，1989.

　　[7]蔡上鹤.数学思想与数学方法.中学数学，1997.

　　[8]李晓明.人类认识之谜.北京：人民出版社，1987.

　　[9]M·克莱因.西方文化中的数学.张祖贵译.上海：复旦大学出版社，2005.

　　[10]张学广.维特根斯坦与理解问题.陕西：陕西人民出版社，2003.

　　[11]乔治·波利亚.数学的发现.刘景麟等译.内蒙古：内蒙古人民出版社，1981.

　　[12]钟志华.数学思想方法的理解探索.教学与管理，2009.

　　[13][美]约翰·布兰斯福特等.人是如何学习的.程可拉等译.上海：华东师范大学出版社，2003.

　　[14][美]PatriciaWolfe.脑的功能——将研究结果应用于课堂实践.中国轻工业出版社，2005.

　　[15][法]雅克·阿达玛.数学领域的发明心理学.陈植荫，肖奚安.南京：江苏教育出版社，1988.

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