数学题的求解过程是一个通过严密的数学逻辑推导与演算、逐步得出答案的过程，其中包括许多蕴含着不同数学思想的解题步骤。在数学教学实践中，教师的一项主要任务就是对各种数学问题中所蕴含的一系列数学思想加以提炼并进行系统的总结，并将其系统地贯彻到数学教学过程中。

　　数学问题中所蕴含的数学思想因数学问题的不同而不同：有的数学问题蕴含的数学思想比较显化，解题或教学中比较容易发现与运用，问题解决起来也相对容易；而有的数学问题蕴含的数学思想比较隐性，这时，如果不能理解与掌握其隐含的数学思想，就会给数学问题的解决造成困难；另一种情形是，一数学问题中蕴含各种数学思想并以显性与隐性方式呈现，这样，解题过程中就出现了有的步骤解起来较为容易、而有的步骤或过程解起来就较为困难，或者因不能很好地掌握其中的数学思想而无法解决。

　　因此，全面地理解、掌握并熟练地运用数学问题中蕴含的数学思想，是解决数学问题的关键；如何将数学问题中蕴含的数学思想有效地融于数学教学实践中，使学生真正理解数学问题中的数学思想，是数学教学的关键。下面通过一道数学题的求解过程，阐释该数学问题中蕴含的数学思想以及认识、理解、运用这些数学思想在解决数学问题中的重要性。

　　一、数学问题

　　已知：函数f（x）为奇函数，对任意的x∈R，f（x+2）=-f（x），且[0，1]在区间（x）=x，求函数f（x）在区间[7，8]范围的解析式。

　　二、解题过程

　　解：当x∈[0，1]时，f（x）=x，f（x+2）=-f（x）=-x这样x+2∈[2，3]，令X=x+2，X∈[2，3]代入

　　f（x+2）=-x=-（x+2）+2，则有f（X）=-X+2，

　　即x∈[2，3]时，f（x）=-x+2，f（x+2）=-f（x）=x-2。

　　同样令X=x+2，x∈[2，3]有X∈[4，5]代入

　　f（x+2）=x-2=（x+2）-4有f（X）=X-4，

　　即X∈[4，5]时，

　　f（x）=x-4，f（x+2）=-f（x）=-x+4=（x+2）+6

　　如此得x∈[6，7]时，f（x）=-x+6，f（x+2）=-f（x）=x-6

　　即x∈[8，9]时，f（x）=x-8，……

　　按这个方法递推下去，找不到区间[7，8]内函数的解析式。所以必须考虑f（x）为奇函数的条件。

　　在x∈[1，0]时-x∈[0，1]，f（-x）=-x

　　而f（-x）=-f（x），因而x∈[1，0]时，f（x）=x，

　　f（x+2）=-f（x）=-x=-（x+2）+2，

　　令X=x+2，X∈[1，2]代入f（x+2）=-（x+2）+2，则有f（X）=-X+2，即x∈[1，2]时，f（x）=-x+2，

　　f（x+2）=-f（x）=x-2=（x+2）-4，类似有x∈[3，4]时，f（x）=x-4，f（x+2）=-f（x）=-x+4=-（x+2）+6，

　　依次推下去，得x∈[7，8]时，f（x）=x-8。

　　三、探析解题过程中的数学思想

　　本解题过程是从条件“对任意x∈R，

　　f（x+2）=-f（x）及x∈[0，1]，f（x）=x”出发，得到函数f（x+2）=-（x+2）+2，考虑用变量代换X=x+2依据的是换元思想，而构造出一个在区间[2，3]内的函数f（x）=-x+2又是构造思想的体现，按照这两个思想继续讨论x∈[2，3]时f（x+2）=（x+2）-4，又可求出x∈[4，5]时的f（x），如此类推，即可得到[8，9]、[10，11]等区间的函数f（x）。这一过程融入了分类思想（分成[0，1]、[2，3]……区间讨论）、归纳思想（即从具体的[0，1]内的f（x），寻找到用f（x+2）=-f（x）往下递推的规律），又运用等价转化思想将最初的条件[0，1]内的f（x）=x。转化为条件[-1，0]内f（x）=x，进而按照上述的换元、构造思想，求得x∈[7，8]的f（x）=x-8。

　　这里，难点是换元思想到构造思想的过渡。从f（x+2）=-（x+2）+2作变量代换X=x+2，如何构造区间[2，3]内的函数f（x）=-x+2？教师要利用数学思想讲清楚X所处位置的角色实质上是自变量，它与f（x）=-x+2中x的角色一致，只是用的字母符号不同。否则，学生会将X=x+2中的x与f（x）=-x+2中的x视为等同，不理解为什么两者会不同而深深地陷入纠结中。前面的换元、构造思想清楚后，后面解题过程的理解就容易了，相应的数学思想学生亦能更好地感悟、认识，为进一步渗透数学思想，开启思维奠定了基础。

　　四、求解问题的拓展，数学思想的延续

　　上述数学问题虽然已经得以解决，但该题的求解思路仍在影响着学生，所运用的数学思想可以继续指导学生将问题延伸拓展，教师可趁热打铁要求学生对上述数学问题的解题过程进行梳理，并求出整个实数范围如此划分区间的函数解析式。

　　通过教师的引导、分析，学生对该题解题过程及各区间的函数做进一步的梳理，并利用分类思想、化归思想方法从x∈[-1，1]时，f（x）=x。

　　x∈[1，3]时，f（x）=-x+2；x∈[3，4]，f（x）=x-4；x∈[5，7]，f（x）=-x+6……

　　归纳得出f（x）=-x+4n-2x∈[4n-3，4n-1]x-4nx∈[4n-1，4n+1]

　　渗透了从特殊到一般的归纳思想。根据f（x）的公式可以得到各个区间的函数，又完成了一般到特殊的数学过程。并据此作图如下：

　　从图像又可得出结论：y=f（x）在R上的图像实质是由x∈[1，1]上的直线y=x及x∈[1，3]上的直线y=-x+2分别在x轴上平移±4n（n=0，1，2，……）个单位得到的，这一过程又是数形结合思想的充分体现。

 

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