摘要：笔者搜集了部分资料，结合本人积累的一些高三知识，就高中新课标向量的相关知识进行阐述，对有关三角形“四心”的相关知识进行复习，特别体现出它们之间的结合。

　　关键词：高中数学；平面向量；结合

　　中图分类号：G427文献标识码：A文章编号：1992-7711（2013）21-093-1

　　一、基础知识复习

　　1.定义：我们把三角形三个内角的角平分线的交点叫做三角形的内心，即三角形内切圆圆心；三角形三条边上的中垂线的交点叫做三角形的外心，即三角形外接圆圆心；三角形三条边上的中线的交点叫做三角形的重心；三角形三条高线的交点叫做三角形的垂心.我们将三角形的“内心”、“外心”、“重心”、“垂心”合称为三角形的“四心”.

　　2.应用：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等；三角形的重心到三角形的顶点的距离是相应中线长的三分之二；三角形的垂心与顶点的连线垂直于该顶点的对边.

　　3.注意点：三角形的“四心”与平面向量知识的结合.

　　二、典型例题分析

　　[例]已知点G是△ABC内任意一点，点M是△ABC所在平面内一点.试根据下列条件判断G点可能通过△ABC的心.（填“内心”或“外心”或“重心”或“垂心”）.

　　[提出问题]

　　（1）若存在常数λ，满足MG=MA+λ（AB|AB|+AC|AC|）（λ≠0），则点G可能通过△ABC的.

　　（2）若点D是△ABC的底边BC上的中点，满足GD·GB=GD·GC，则点G可能通过△ABC的.

　　（3）若存在常数λ，满足MG=MA+λ（AB|AB|·sinB+AC|AC|·sinC）（λ≠0），则点G可能通过△ABC的.

　　（4）若存在常数λ，满足MG=MA+λ（AB|AB|·cosB+AC|AC|·cosC）（λ≠0），则点G可能通过△ABC的.

　　[思路分析]以上四个问题的解决要求不同，除了熟悉三角形的“四心”的性质，同时更要熟悉平面向量的性质，对于平面向量与三角函数的结合也要相当熟悉.

　　[解答过程]（1）记AB|AB|=e1，AC|AC|=e2，则AG=λ（e1+e2）.由平面向量的平行四边形或三角形法则知，点G是角平分线上的点，故应填内心.

　　（2）简单的变形后发现点G是BC边中垂线上的点，故应填外心.

　　（3）∵|AB|·sinB=|AC|·sinC，∴记|AB|·sinB=|AC|·sinC=h，

　　则AG=λ′（AB+AC）（λ′=λh）.由平面向量的平行四边形或三角形法则知，点G是BC边的中线上的点，故应填重心.

　　（4）分析后发现，本题学生难以找到解决问题的突破口，主要在于平面向量的数量积的充分利用.由

　　MG=MA+λ（AB|AB|·cosB+AC|AC|·cosC）（λ≠0），

　　得AG=λ（AB|AB|·cosB+AC|AC|·cosC）（λ≠0），

　　（关键点）AG·BC=λ（AB|AB|·cosB+AC|AC|·cosC）·BC（λ≠0）

　　于是AG·BC=λ（AB·BC|AB|·cosB+AC·BC|AC|·cosC）（λ≠0）

　　=λ（|BC|·cos（π-B）+|BC|·cosB）=λ（-|BC|+|BC|）=0.

　　从而AG⊥BC，点G是高线上的点，故应填垂心.

　　[教师点评]以上四个问题处理的方法各不相同，注意到平面向量及三角形的“四心”的性质在解答问题时的作用.特别注意第四问两边同乘以某个表达式的技巧.

　　三、综合运用

　　[提出问题]若O点是△ABC的外心，H点是△ABC的垂心，且OH=m（OA+OB+OC），求实数m的值.

　　[思路分析]许多学生在解答此类题时，只能用特殊值的方法解决.要求学生能够充分利用本节提到的一些基础知识及相关性质解题.

　　[解答过程]由OH=m（OA+OB+OC），得OH-OA=m（OA+OB+OC）-OA，

　　于是HA=（m-1）·OA+m（OB+OC），

　　（关键点）HA·BC=（m-1）OA·BC+m（OB+OC）·BC

　　即HA·BC=（m-1）OA·BC+m（OB+OC）·（OC-OB），

　　由题意，知HA·BC=0，及（OB+OC）·（OC-OB）=0，从而（m-1）OA·BC=0，

　　其中OA·BC≠0，因此m-1=0，即m=1.

　　[教师点评]请读者特别注意解题中的关键点，解这类问题时的技巧也应熟练掌握.

　　[举一反三]通过上述例题及解答，我们可以总结出关于三角形“四心”的向量表达式.

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